Question

شرح درس العلاقات في الرياضيات الرياضيات أنواع العلاقات حل مسائل درس العلاقة العكسية والكافؤ والمتعدية 

مرحباً بكم طلاب هذا العام الدراسي الجديد 2023 2024 يسرنا بزيارتكم في موقعنا باك نت أن نقدم لكم شرح ملخص وحل تطبيقات المنهج الجديد كما نقدم لكم الأن أعزائي طلاب وطالبات العلم ما يأتي.. شرح درس العلاقات في الرياضيات الرياضيات أنواع العلاقات حل مسائل درس العلاقة العكسية والكافؤ والمتعدية 

الإجابة هي 

شرح درس العلاقات في الرياضيات الرياضيات أنواع العلاقات حل مسائل درس العلاقة العكسية والكافؤ والمتعدية 

.

سبق أن درسنا وتعرفنا على:

*الزوج المرتب (أ ، ب) يسمى زوجاً مرتباً فالعنصر الأول (أ) يسمى المسقط الأول، والعنصر الثاني (ب) يسمى المسقط الثاني.

 س: ما الفرق بين ( أ، ب ) و } أ، ب{؟

* حاصل الضرب (الجداء) الديكارتي:

لكل مجموعتين غير خاليتين س × ص فإن حاصل ضرب المجموعة س في المجموعة ص هو كل الأزواج المرتبة التي مسقطها الأول من س ومسقطها الثاني من ص ويرمز لها بالرمز س × ص.

مثـال(1): إذا كانت س = } 2، 3 { ، ص = } ج‍، د، ه‍ { فأوجد ما يلي:

1) س × ص 2) ص× س

3) س × ص

الـحــل:

1) س × ص = } ( 2، ج‍(، ( 2، د )، ( 2، ه‍ )، ( 3، ج‍ )، (3، د)، (3، ه‍({ 

2) ص× س = }( ج‍، 2 )، ( ج‍، 3 )، ( د، 2 )، ( د، 3 )، (ه‍، 2)، (ه‍، 3){ 

3) س × س = } ( 2، 2 )، ( 2، 3 )، ( 3، 2 )، ( 3، 3 ) { 

*العلاقة: ع من المجموعة س إلى المجموعة ص هي مجموعة جزئية من حاصل ضرب المجموعتين س × ص أي أن ع س × ص .

*العلاقـة: ع من المجموعة س إلى نفسها هي مجموعة جزئية مـن:

س × س أي أن: ع س × س  

تسمى هذه العلاقة في هذه الحالة علاقة على س.

أنــــــــــــــــــــــــواع الـــــــــــــــعـــــــــــــــــلاقــــــــــــــــات

* العـــلاقـــة الانعكـــاسيـــة: 

تكون ع علاقة انعكاسية على المجموعة س إذا كان كل عنصر مرتبطاً بنفسه أي أن لكل أ ∋ س فإن ( أ، أ ) ∋ ع

*العلاقـــة المتناظـــرة (المتماثلــــة): 

تكون العلاقة ع متناظرة على المجموعة س، إذا كان لكل

( أ، ب) ∋ ع فــإن (ب، أ) ∋ع حيث أ، ب ∋ س.

مثال (2): إذا كانت ل = } 1، 2، 3 { بين نوع العلاقات التالية:

انعكاسية ، متناظرة مع ذكر السبب ؟

ع1= } ( 1، 1 )، ( 3، 2 )، ( 2، 2 )، ( 3، 3 ){ 

ع2 = } ( 2، 3 )، ( 3، 2 )، ( 3، 3){ 

الحل: ع1 انعكاسية لأن كل عنصر ∋ ل مرتبط بنفسه.

ع1 ليست متناظرة لأن ( 3، 2 ) ∋ ع بينما ( 2، 3 ) ∌ ع 

ع2 ليست انعكاسية لأن 1∋ ل بينما ( 1، 1 ) ∌ ع.

ع2متناظرة لأن لكل ( أ، ب )∋ع فإن ( ب، أ) ∋ع حيث: أ، ب∋ ل.

العلاقــة المتعديــة {الانتقاليـة}

تكون العلاقة ع متعدية على المجموعة س إذا كان لكل:

( أ، ب ) ، ( ب ، ج‍( ∋ ع فإن ( أ، ج‍( ∋ ع حيث أ، ب، ج‍ ∋ س.

تمريــن وزاري:

مثـال(3): في الأشكال التالية ع1، ع2، ع3 ثلاث علاقات على المجموعة س = {2 ، 3 ، 5} موضحة بالمخططات السهمية التالية:

أكتب الأزواج المرتبة للعلاقات ع1، ع2، ع3 وبين نوع كل منها من حيث كونها (انعكاسية، متناظرة، متعدية) مع ذكر السبب:

الـحــل:

ع1 = } ( 2، 2 )، ( 3، 3 )، ( 3، 5 )، ( 5، 5 ){ 

انعكاسية لأن كل عنصر ∋ س مرتبط بنفسه.

1) غير متناظرة لأن ( 3، 5 ) ∋ ع1 بينما ( 5، 3 ) ∌ ع1

2) متعدية لأن لكل ( ا، ب )، ( ب، ج‍ ) ∋ ع1 ( أ، ج‍( ∋ ع1

حيث أ، ب، ج‍ ∋ س .

ع2 = } (2، 2)، (2، 3)، (3، 2)، (3، 3)، (3، 5)، (5، 3)، (5، 5) { 

1) انعكاسية لأن كل عنصر ∋ س مرتبط بنفسه .

2) متناظرة لأن لكل ( أ، ب ) ∋ ع فإن (ب، أ) ∋ ع حيث أ، ب ∋ ع 

3) متعدية لأن لكل (أ، ب)، (ب، ج‍( ∋ ع فإن (أ، ج‍( ∋ ع حيث:

أ ، ب ، ج‍ ∋ س.

ع3= } ( 2، 3 )، ( 3، 5 )، ( 2، 5 )، ( 5، 5 ) {

1) غير انعكاسية لأن العنصر 2 ∋ س بينما ( 2، 2 ) ∌ ع

2) غير متناظرة لأن (2 ، 3) ∋ ع بينما ( 3 ، 2) ∌ ع

3) متعدية لأن لكل (أ، ب)، (ب، ج‍( ∋ ع فإن (أ، ج‍( ∋ ع حيث:

أ ، ب ، ج‍ ∋ س .

معلومة هامة: هذه العلاقات متعدية (انتقالية).

]علاقة: < ، > ، ≤ ، ≥ ، يوازي ، أخ ، يقسم، يساوي، أطول من، أقصر من[. 

عــلاقـــة التكافـــؤ

تكون العلاقة ع علاقة تكافؤ على المجموعة س إذا كانت ع علاقة انعكاسية ومتناظرة ومتعدية على المجموعة س .

مثــال (4): لتكن م = } 1، 3، 5 { ، ع علاقة على م حيث:

 ع = } (أ، ب) : أ + ب = عدداً زوجياً، أ، ب ∋ م { 

 هل ع علاقة ؟ ولماذا ؟

الــحـل:

ع1=}(1، 1)،(1، 3)،(1، 5)،(3، 3)، (3، 1)، (3، 5)، (5، 5)، (5، 1) ، (5، 3){

ع انعكاسية لأن كل عنصر مرتبط بنفسه.

ع متماثلة لأن (أ، ب) ∋ ع فإن (ب، أ) ∋ ع 

ع متعدية لأن لكل (أ، ب)، (ب، ج‍ ) ∋ ع فإن (أ، ج‍ ) ∋ ع 

 ∵ انعكاسية، متماثلة، متعدية ع علاقة تكافؤ .

مثـال (5):

1) ما معنى أن أ يقسم ب ؟

2) إذا كانت س = {2، 3، 5، 6} وكان ع علاقة من س إلى ص حيث 

أ ع ب تعني "أ يقسم ب" لكل أ ∋ س ، ب ∋ س اكتب بيان ع ومثلها بمخطط سهمي وبين نوعها(انعكاسية، متناظرة، متعدية، تكافؤ)؟

الـحــل:

1) معنى أ يقسم ب (ب) تقبل القسمة على ( أ ) .

2) ع = } (2، 2)، (2، 6)، (3، 3)، (3، 6)، (5، 5)، (6، 6) { 

ع انعكاسية لأن كل عنصر مرتبط بنفسه.

ع ليست متناظرة لأن مثلاً: (2، 6) ∋ ع 

    بينما (6، 2) ∌ ع 

ع متعدية لأن (أ، ب)، (ب، ج‍( ∋ ع 

    فإن (أ، ج‍( ∋ ع حيث أ، ب، ج‍ ∋ س.

    ع ليست علاقة تكافؤ.

مثال (6): أي العلاقات التالية (انعكاسية، متناظرة، متعدية،تكافؤ) مع ذكر السبب؟

أ) علاقة " = " على ط . ب) علاقة " ≤ " على ص  

الـحــل:

أ) علاقة " = " على ط: انعكاسية لأن أ ∋ ط فإن أ = أ

 متناظرة (أ، أ) ∋ ع هو نظير نفسه .

متعدية لأنه لا يوجد ما ينقص الشرط 

  ع علاقة تكافؤ.

ب) علاقة " ≤ " على ص: انعكاسية لأن كل عنصر مرتبط بنفسه .

 غير متناظرة لأن مثلاً : 5 < 3 بينما 3 < 5 أو لأن:

(5، 3) ∋ ع بينما (3، 5) ∌ ع.

متعدية لأن إذا كان أ < ب ، ب < ج‍ فإن أ < ج‍ لكل أ، ب، ج‍ ∋ ص .

 ∵ ع انعكاسية، غير متناظرة، متعدية 

 ع ليست علاقة تكافؤ.

مثـال (7): الشكل المرسوم يمثل المخطط السهمي للعلاقة:

ع على س = } أ، ب، ج‍ { والمطلوب: 

1) اسرد عناصر العلاقة ع كأزواج مرتبة

2) هل ع علاقة تكافؤ ؟ ولماذا ؟

الـحـــل:

ع = } (أ، ب)، (ب، ب)، (ب، ج‍ )، (ج‍، ب)، (ج‍، ج‍( { 

1) ع علاقة انعكاسية لأن لكل ل ∋ س فإن (ل، ل) ∋ ع .

2) ع متناظرة لأن لكل (ل، م) ∋ ع فإن (م، ل) ∋ ع .

3) ع متعدية لأن لكل (ل، م)، (م، ن) ∋ ع فإن (ل، ن) ∋ ع .

 ع علاقة تكافؤ.

Answer 1

حل تمارين ومسائل الكتاب المدرسي صـ(23- 24) العلاقة المتعدية رياضيات

عــلـــى العلاقــة المتعديــــة

[1] إذا كانت ك = } 1، 2، 3 { فبين نوع العلاقة التالية على ك من حيث كونها متعدية أو ليست متعدية، اذكر السبب .

ع1 = } (1، 1)، (2، 2)، (2، 3)، (2، 1)، (3، 1) {

ع2 = } (1، 1)، (2، 1)، (3، 3)، (1، 3) {

ع3 = } (1، 2)، (2، 1) {

ع4 = } (2، 3)، (2، 2) {

ع5= } (1، 3) {

ع6 = ك × ك

الـحـــل:

ع1 متعدية لأن شرط التعدي محقق لجميع الحالات

فمثلاً: نجـــد (2 ، 3) ، (3 ، 1) ∋ ع1 (2 ، 1) ∋ ع1

ع2 ليست متعدية لأن (2، 1)، (1، 3) ∋ ع2 بينما (2، 3) ∌ ع2

ع3 ليست متعدية لأن (1 ، 2)، (2، 1) ∋ ع3 بينما (1، 1) ∌ ع3

ع4 متعدية لأن (2، 2)، (2، 3) ∋ ع4 (2، 3) ∋ ع4

ع5 متعدية لأنه لا يوجد ما ينقض الشرط

ع6 = }(1، 1)، (1، 2)، (1، 3)، (2، 1)، (2، 2)، (2، 3)،(3، 1)، (3، 2)، (3، 3){

متعدية لتحقق شرط التعدي لجميع الحالات.

[2] أي العلاقات الموضحة بالمخططات(1-15 أ، ب، ج، د) متعدية ؟ ولماذا؟

 

الـحـــل:

شكل ( 1 - 15 أ ):

 العلاقة متعدية لأن لكل (أ، ب)، (ب، ج‍( ∋ ع (أ، ج‍(∋ ع

شكل ( 1 - 15 ب):

 العلاقة متعدية لأن لكل (أ، ب)، (ب ، أ) ∋ ع فإن (أ، أ) ∋ ع

       (جـ، د) ، (د ، جـ) ∋ ع فإن (جـ ، جـ) ∋ع

شكل ( 1 - 15 ج‍(:

 العلاقة ليست متعدية لأن (ب، أ)، (أ، د) ∋ ع بينما (ب، د) ∌ ع

شكل ( 1 - 15 د ) :

 العلاقة متعدية لأن (أ، ب)، (ب، ج‍( ∋ ع فإن (أ، ج‍( ∋ع

[3] إذا كانت : ل = } 2، 3، 4، 5 { ، ع علاقة على المجموعة ل حيث:

 ع = }(أ، ب): أ، ب ∋ ل، أ+ ب عدداً فردياً{فهل ع علاقة متعدية ؟ولماذا؟

ارسم المخطط السهمي لهذه العلاقة والمخطط البياني؟

الـحــل:

ع = }(2، 3)، (3، 2) ، (2، 5)، (5، 2)، (3، 4)، (4 ، 3) ، (4، 5) ، (5، 4){

ع غير متعدية لأن مثلاً (2، 3)، (3، 2) ∋ ع بينما (2، 2) ∌ ع .

 

 5

 

 

[4] أي العلاقات التالية انعكاسية، متناظرة، متعدية ؟ اذكر السبب .

أ) علاقة " ≥ " على المجموعة ص = } -1، 0، 1، 2 {

ب) علاقة " يقسم " على مجموعة الأعداد الصحيحة .

الـحـــل:

أ) (علاقة ≥) =}(-1، -1)، (-1، 0)، (-1، 2)، (0، 0)، (0،1)، (0،2)، (1،1) ،(1، 2)،(2، 2) {(علاقة ≥) انعكاسية لأن كل عنصر مرتبط بنفسه.

(علاقة ≥)غير متناظرة لأن مثلا (1، 2) ∋ ع بينما (2، 1) ∌ع

(علاقة ≥) متعدية لأن لكل (أ، ب)، (ب، ج‍( ∋ع فإن (أ، ج‍( ∋ع

ب) علاقة يقسم على مجموعة الأعداد الصحيحة.

1) ليست انعكاسية لأن (0∋ ص) ولا يقسم نفسه.

2) غير متناظرة لأن أ يقسم ب بينما ب لا يقسم أ إلا في حالة أ = ب

3) متعدية لأن أ يقسم ب ، ب يقسم ج‍ فإن أ يقسم ج‍.

[5] إذا كانت : م = } -2، -1، 1، 2 { ، ع علاقة على المجموعة م حيث:

    ع = } (أ، ب) : أ2 = ب2 ، أ، ب ∋ م { . هل ع علاقة متعدية ؟ ولماذا ؟

الـحـــل:

ع=}(-2، -2)،(-2، 2)، (2،-2)،(2، 2)، (-1،-1) ، (-1، 1)، (1،-1)،(1، 1){

ع متعدية لتحقق شرط التعدي لجميع الحالات:

فمثلاً: (-2، -2)، (-2، 2) ∋ ع (-2، 2)

[6] إذا كانت : س = } 2، 3، 5 { اكتب علاقة على المجموعة س :

أ) انعكاسية . ب) متناظرة. ج‍( متعدية .

د) ليست انعكاسية ه‍( ليست متناظرة و) ليست متعدية.

الـحـــل:

أ) علاقة انعكاسية : ع1 = } (2، 2)، (3، 3)، (5، 5) {

ب) علاقة متناظــرة: ع2 = } (2، 3)، (3، 2)، (5، 5) {

جـ) علاقة متعدية : ع3 = } (2، 5)، (5، 5) {

د) علاقة ليست انعكاسية: ع4 = } (2، 2)، (3، 5)، (5، 5){

ه‍( علاقة ليست متناظرة: ع5 = } (3، 5)، (2، 2) {

و) علاقة ليست متعدية: ع6 = } (2، 3)، (3، 5) {

ز) انعكاسية ومتناظرة ومتعدية: ع7 = } (2، 2)، (3، 3)، (5، 5) {

ملاحظة: يمكن حل هذا السؤال بأكثر من طريقة .

[7] إذا كانت ص = } 0، 1، 2، -1، -2 {، ع علاقة على المجموعة ص حيث ع =}(أ، ب): أ + ب = 0 ، أ، ب ∋ ص { هل ع انعكاسية، متناظرة، متعدية؟

الـحــل:

ع = } (0، 0)، (1، -1)، (2، -2)، (-1، 1)، (-2، 2) {

ع ليست انعكاسية لأن مثلاً : 2 ∋ ص بينما (2، 2) ∌ ع .

ع متناظرة لأن لكل (أ، ب) ∋ ع فإن ( ب، أ) ∋ ع لكل أ، ب ∋ ص

ع ليست متعدية لأن مثلاً : ( 2، -2)، (-2، 2) ∋ ع بينما (2، 2) ∌ ع

[8] الشكل ( 1 - 16 ) يمثل مخططاً بيانياًَ لعلاقة ع معرفة على المجموعة س، س = } 2، 4، 6، 8 {

أ) اكتب ع بطريقة السرد .

ب) بين نوع العلاقة ع،

(انعكاسية، متناظرة، متعدية) .

الـحـــل: 8 6 4 2

ع ={(2، 2)، (2، 4)،(2، 6)، (2، 8) ، (4، 4)، (4، 8)،(6، 6)،(8، 8)}

ع انعكاسية لأن كل عنصر مرتبط بنفسه .

ع غير متناظرة لأن (4، 8) ∋ ع بينما (8، 4) ∌ ع

ع متعدية لتحقق شرط التعدي لجميع الحالات:

فمثـــلاً: (2، 4) ، (4، 8) ∋ع (2 ، 8) ∋ع

Answer 2

حل تمارين ومسائل الكتاب المدرسي صـ (29-32) علاقة النكافؤ

عـــلــى عــلاقـــة التكــافــؤ

[1] إذن كانت: ص = { أ ، ب ج‍{فبيّن أياً من العلاقات التالية انعكاسية، متناظرة، متعدية، وأيها تمثل علاقة تكافؤ"

ع1= {(أ ، أ)، (ب، ب)، (ج‍ ، ج‍(}،

ع2={(أ ، أ)، (أ ، ب)، (ب، ج‍ )، (ج‍ ، ج‍ )، (أ، ج‍ )}،

ع3= {( ج‍ ،ج‍ (، (أ، ج‍ )، (ب ،ب) ، (ج‍، أ)}،

ع4= {(أ ، أ)، (ب، ب)، (ج‍ ، ج‍ )، (ب ،ج‍ )}،

ع5= {(أ، ب) ، (ب، ج‍ )}.

الـحـــل:

أولاً: ع1 انعكاسية ومتناظرة ومتعدية ∴ ع1 علاقة تكافؤ

ثانياً: ع2 ليست انعكاسية لأن ب ∋ ص ولكن (ب ، ب) ∌ع2

غير متناظرة لأن (أ ، ب) ∋ع بينما ( ب ، أ ) ∌ع2

 متعدية لأن لكل (أ ، ب) ، (ب ، ج‍ ) ∋ع فإن (أ، ج‍( ∋ع2

∴ ع2 لا تمثل علاقة تكافؤ.

ثالثاً: ع3 ليست انعكاسية لأن أ ∋ ص ولكن (أ ، أ) ∌ع3

 متناظرة لأن (أ ، ج‍( ∋ع3 وأيضاً (ج‍، أ) ∋ ع3

ليست متعدية لأن (أ ، ج‍( ، (ج‍، أ) ∋ع3 بينما (أ ، أ) ∌ع3

∴ ع3 لا تمثل علاقة تكافؤ

رابعاً: ع4 انعكاسية لأن كل عنصر مرتبط بنفسه

     غير متناظرة لأن (ب، ج‍( ∋ع4 بينما (ج‍ ، ب) ∌ع4

     متعدية لأن (أ ، ب)، (ب، ج‍( ∋ع4، (أ ، جـ) ∋ع4

∴ ع4 ليست علاقة تكافؤ

خامساً: ع5 ليست انعكاسية، غير متناظرة، غير متعدية

∴ ع5 ليست علاقة تكافؤ

[2] بين نوع العلاقات الموضحة بالمخططات السهمية التالية [أنظر الأشكال (1-19أ ، ب ،ج‍([ من حيث انعكاسية، متناظرة، متعدية، متكافئة.

الـحـــل:

شكل (1-19أ)

(ليست انعكاسية، غير متناظرة، متعدية) غير متكافئة

شكل (1-19ب)

(انعكاسية، متناظرة، متعدية) متكافئة

شكل(1-19 ج‍(

(ليست انعكاسية- غير متناظرة، غير متعدية) غير متكافئة

[3] إذا كانت: ل = { أ ، ب ، ج‍ ، د}، ع علاقة على المجموعة ل، حيث:

ع ={(أ، أ)، (ب ، ب)،(جـ ، جـ)، (د، د) (ب، د)، (د، ب) ،(ج‍، د)، (د، جـ)‍}،

هل ع علاقة تكافؤ؟ ولماذا؟

ارسم المخطط السهمي والبياني للعلاقة ع.

الـحـــل:

(ع انعكاسية، متناظرة، غير متعدية) ليست علاقة تكافؤ.

 

[4] لتكن م= {-2، -1، 0، 1، 2}، ع علاقة على المجموعة م

 حيث ع = {(أ ، ب): أ ≥ ب ، أ ، ب ∋ م}.

 هل ع علاقة تكافؤ؟ أذكر السبب.

الـحـــل:

ع = {(-2، -2)، (-2، -1)، (-2، 0)، (-2،1)،(-2، 2)، (-1، -1)، (-1، 0) ، (-1، 1)، (-1، 2)، (0،0)، (0، 1)، (0، 2)، (1 ،1)،(1، 2)، (2،2) }.

ع انعكاسية، غير متناظرة، متعدية ليست علاقة تكافؤ.

[5] أي العلاقات التالية: انعكاسية، متناظرة، متعدية، تكافؤ، مع ذكر السبب:

أ) علاقة (( = )) على ط ، ب) علاقة (( ≤ )) على ض

ج‍( علاقة (( يوازي )) على مجموعة المستقيمات.

د) علاقة التطابق (( )) على مجموعة الزوايا.

الـحـــل:

(أ) علاقة ((=)) على ط.

(1) انعكاسية لأن كل عدد طبيعي يساوي نفسه.

(2) متناظرة لأن لكل أ ، ب ∋ ط إذا كان أ = ب فإن ب = أ

(3) متعدية لأن لكل أ ، ب ، ج‍ ∋ط أ = ب، ب = ج‍ فإن أ= ج‍

∴علاقة ((=)) علاقة تكافؤ.

(ب) علاقة (( ≤ )) انعكاسية لأن كل عنصر مرتبط بنفسه

غير متناظرة لأن أ > ب بينما ب ≮ أ مثلاً: 2 > 1 ولكن 1 ≮ 2

متعدية لأن أ > ب، ب > ج‍ فإن أ > ج‍

∴علاقة (( ≤ )) ليست علاقة تكافؤ.

(ج‍( علاقة (( // )) على مجموعة المستقيمات.

انعكاسية لأن كل مستقيم يوازي نفسه

متناظرة لأن // فإنه لابد //  

متعدية لأنه لكل ، ، مجموعة مستقيمات

  // ، // فإن // ‍ علاقة (( يوازي)) علاقة تكافؤ.

(د) علاقة التطابق((≅)) على مجموعة الزوايا نفس شروط علاقة((=))

انعكاسية، متناظرة، متعدية، (علاقة تكافؤ)

[6] إذا كانت: س = {2، 3، 5}، أكتب علاقة على المجموعة س:

أ) ليست متعدية ، ب) علاقة تكافؤ.

الـحـــل:

أ) علاقة على س ليست متعدية ع= {(2، 3)، (3 ، 5)}

ب) علاقة على س علاقة تكافؤ ع= {(2، 2)، (3، 3)، (5،5)}

[7] إذا كان المخطط السهمي التالي يمثل العلاقة ع، فهل ع علاقة تكافؤ؟ولماذا؟

[أنظر الشكل (1-20)].

الـحـــل:

ع انعكاسية، ع متناظرة لتحقق شرط التناظر

ع غير متعدية لأن (أ ، ب) ، (ب، ج‍( ∋ع بينما (أ، ج‍( ∌ ع  

∴ ع ليست علاقة تكافؤ.

[8] إذا كانت ع علاقة على ط حيث أن:

ع = {(أ ، ب): أ ، ب ∋ ط ، أ + ب = 6}

فهل ع انعكاسية، متناظرة، متعدية، تكافؤ؟

الـحـــل:

ع = }(0، 6)، (1، 5)، (2، 4)، (3، 3)، (4، 2)، (5، 1)، (6، 0){

ع ليست انعكاسية لأن مثلا 1∋ ط بينما (1، 1) ∌ ع

ع متناظرة لأن (أ، ب) ∋ ع بينما (ب، أ) ∋ ع

ع ليست متعدية لأن مثلا (1، 5)، (5، 1) ∋ ع بينما (1، 1) ∌ ع

 ع ليست علاقة تكافؤ .

[9] الشكل (1-21) يمثل مخطط بياني لعلاقة

ع معرفة على المجموعة ك= {3 ، 5 ، 7، 9}.

أ) أكتب العلاقة ع بذكر الصفة المميزة.

ب) هل العلاقة ع علاقة تكافؤ؟

الـحـــل:

ع = {(5 ، 3)، (7 ، 5) ، (9 ، 7)}

ع= {(أ ، ب) : أ ، ب ∋ {3، 5، 7، 9} ، أ =ب+2}

ع ليست علاقة تكافؤ لأن ع ليست انعكاسية، وليست متناظرة، وليست متعدية.

تمـاريـن عـامـة عـلـى الـعـلاقـات

(أجـــب بنفســـك)

[1] إذا كانت س = {2، 3، 7} فبين نوع العلاقات التالية على س من حيث كونها علاقة (انعكاسية، متناظرة، متعدية، تكافؤ).

ع1= {(2، 2) ، (3، 3)، (7،7)}

ع2= {(2، 3)، (3، 2)، (2،2)}

ع3= {(7، 7)، (3، 7)، (7، 3)، (3، 3)}

[2] إذا كانت ع= { ( أ ، أ )، ( أ، ب ) ، ( ب ، ب ) ، ( ج‍ ، ج‍ ) } معرفة على س= { أ ، ب ، جـ }. أدرس صفاتها مبيناً هل هي علاقة تكافؤ

[4] لتكن س = {5} هل س × س علاقة تكافؤ؟ ولماذا؟

[5] إذا كانت ك= {-1، 0، 1} ع علاقة على ك حيث:

ع= {( أ ، ب ) ب: أ ≥ ب ، أ ، ب∋ ك فهل ع علاقة تكافؤ؟ ولماذا؟}

[6] إذا كانت س = {12، 13، 22، 23، 32}، ع علاقة معرفة على س حيث

(أ ، ب) ∋ع، أ ، ب لهما نفس رقم الآحاد.

أكتب ع وأرسم مخططها السهمي؟ وبين أنها علاقة تكافؤ؟

[7] إذا كانت س = {10 ، 21، 33، 65، 51} وكانت ع علاقة على س حيث أ ع ب تعني أن أ، ب بينهما عامل مشترك خلاف ± 1 أكتب بيان ع ومثلها بمخطط سهمي وبين صفات ع من حيث كونها.

{انعكاسية- متناظرة- متعدية- تكافؤ}.

[8] إذا كانت س= {13، 25، 34، 22، 16، 37، 28} وكانت ع علاقة على س حيث أ ع ب تعني أن أ ، ب لهما نفسي مجموع الرقمين أكتب بيان ع، ومثلها بمخطط سهمي وبين هل هي علاقة تكافؤ مع ذكر السبب.

[9] إذا كانت س= {∅، { أ } ، {ب}، {أ ، ب}} وكانت هي علاقة الاحتواء على س أرسم المخطط السهمي لهذه العلاقة.

[10] إذا كانت س هي مجموعة الأرقام المكتوبة على أوجه حجر الفرد

(مكعب الزهر) وكانت ع1، ع2، ع3 ثلاث علاقات على س كالآتي.

(1) أ ع1 ب تعني أ + ب ≥ 7.

(2) أ ع2 ب تعني أ + ب > 8

(3) أ ع3 ب تعني أن أ = ب

(4) أ ع4 ب تعني أن أ + ب = 7 أرسم المخططات السهمي وبين أي منهما علاقة متعدية.

[11] إذا كانت س = {1، 4، 5، 6، 7} ، ص= {1، 16، 49، 25،12} وكانت ع علاقة من س إلى ص حيث أ ع ب تعني أن أ = ب لكل أ ∋ س ،

ب ∋ ص أكتب بيان ع ومثلها بمخطط سهمي وبين خواصها.